命題８
もし１つの数が１つのすうの約数たちで、引かれた数は引かれた数の同じ約数たちならば、残りもまた残りの約数たちで、全体は全体の同じ約数たちである。
数ABは数CDと、引かれたAEは引かれたCFの約数たちと同じ約数たちであるとせよ。
残りのEBもまた残りのFDの、全体ABは全体CDの約数たちと同じ約数たちであると主張する。
ABと等しいGHを作る。
それゆえに、AEはCFの、GHはCDの約数たちと同じ約数たちである。
GHをCDの約数たち、GKとKHに分け、AEをCFの約数たち、ALとLEに分ける。
そのとき、GKとKHの個数は、ALとLEの個数と等しい。
今、ALはCFの、GKはCDの約数と同じ約数で、CDはCFより大きいので、それゆえに、GKもまたALより大きい。
ALと等しいGMを作る。
そのとき、GKはCDの、GMはCFの約数と同じ約数である。
それゆえに、残りのMKは残りのFDの、全体GKは全体CDの約数と同じ約数である。propositionⅦ．７
再び、ELはCFの、KHはCDの約数と同じ約数であり、CDはCFより大きいので、それゆえに、HKもまたELより大きい。
ELと等しいKNを作る。
それゆえに、KNはCFの、KHはCDの約数と同じ約数である。
それゆえに、残りのNHは残りのFDの、全体KHは全体CDの約数と同じ約数である。propositionⅦ．７
しかし、残りのMKは残りのFDの、全体GKは全体CDの約数と同じ約数であることは証明されている。
それゆえに、MKとNHの和はDFの、全体HGは全体CDの約数たちと同じ約数たちである。
しかし、MKとNHの和はEBに等しく、HGはBAに等しく、それゆえに、残りのEBは残りのFDの、全体ABは全体CDの約数たちと同じ約数たちである。
それゆえに、もし１つの数が１つのすうの約数たちで、引かれた数は引かれた数の同じ約数たちならば、残りもまた残りの約数たちで、全体は全体の同じ約数たちである。
証明終了